【问题描述】

已知一个数列U[1]，U[2]，U[3]，…，U[N]，往往可以找到一个最小的K值和K个数a[1]，a[2]，…，a[K]，使得数列从某项开始都满足：

U[N+K]=a[1]×U[N+K-1]+a[2]×U[N+K-2]+……+a[K]×U[N]

例如对斐波拉契数列1，1，2，3，5，…，可以发现：当K=2，a[1]=1，a[2]=1时，从第3项起（即N≥1）都满足U[N+2]=U[N+1]+U[N]。试对数列1^2，2^2，3^2，…，n^2，…，求K和a[1]，a[2]，…，a[K]使得上式成立。

【答案】

K=3，a[1]=3，a[2]=-3，a[3]=1

【分析】

若K=2，则有

(n+2)×(n+2)=a[1]×(n+1)×(n+1)+a[2]×n×n

化简得到：

n^2+4n+4=(a[1]+a[2])n^2+(2×a[1])n+a[1]

对应系数联立方程组，得

a[1]+a[2]=1

2×a[1]=4

a[1]=4

无解。

若K=3，则有

(n+3)×(n+3)=a[1]×(n+2)×(n+2)+a[2]×(n+1)×(n+1)+a[3]×n×n

化简得到：

n^2+6n+9=(a[1]+a[2]+a[3])n^2+(4×a[1]+2×a[2])n+4×a[1]+a[2]

对应系数联立方程组，得

a[1]+a[2]+a[3]=1

4×a[1]+2×a[2]=6

4×a[1]+a[2]=9

解得，

a[1]=3

a[2]=-3

a[3]=1

选自：第四届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛初赛试题（初中组）2-1

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