说起数学，我们脑海中可能会浮现出各种数字、定理、公式、方程、函数、几何图形甚至微积分，在应试教育的大环境下，我们可能会花费大量的时间学习解题技巧，关注解题结果是否正确，很少有人会透过这些知识去发现数学之美，挖掘数学背后的思维能力。

我们知道数学是思维的体操，没有思维就没有真正的数学学习。拥有数学思维对我们日常的工作和生活都是非常重要的能力。那么对于儿童来说，数学作为其必修课，家长或老师如何引导孩子发现数学之美？为什么要培养孩子的数学思维？如何培养孩子的数学思维？一定要让孩子去学习奥数吗？

针对这些问题，中科院心理所的小学数学思维专家、博士生导师张梅玲老师在4月10日的微课《如何培养儿童的数学思维》中都一一给出了解释。接下来，小编针对昨晚的微课，做了干货整理，供错过或想重温微课的亲们再度学习。

首先我们要了解这三个概念：思维、数学和数学思维。思维是我们认知过程中的高级形式，是人脑借助于语言对客观事物的概括和间接的反应过程，主要包括分析、综合、抽象、概括、比较、分类等活动形式。

数学是研究数量关系和空间形式的科学，是抽象的符号科学。在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

那么，什么是数学思维呢？关于这点学术界的观点并不统一，有的人认为是指演绎思维和归纳思维；有人认为函数思维、建模等。尽管观点不一，但是基本上数学思维是种思维形态，是对数量关系和空间关系的分析、综合、比较和概括。从我个人的观点来说，数学思维最重要的是关联性思维，也就是数和数、数和形、形和形的关系。

还有就是相对性思维，因为任何比较都是相对来说的。相对性思维，也是皮亚杰认为儿童发展过程中重要的质的变化，我们孩子最初都是绝对性思维，大就是大，小就是小，从绝对到相对思维的转变是孩子思维发展的质的变化。另如可逆性思维（加、减、乘、除），互补性思维（等量关系中，一个数多个1，另一个数就要少个1），这些思维形态，我认为也是我们的数学思维。

那么，孩子学数学，为什么要强调数学思维呢？

之前，我们的基础教育尤其是数学在国际上是比较有名的，很强调基础知识和基础技能，很多国家也会向我们学习。可是为什么到了2011年义务教育的数学课程标准，在原来的基础上加入了基本的思想、基本的活动体验呢？这是因为教育是关乎未来的教育，孩子属于明天，学习数学不是仅停留在会背概念、法则、定理，会计算题，更重要的是要通过数学的学习来锻炼思维方式和体验数学活动。我们给孩子的应该是带着走的“数字”，因为思维方式才是伴随终生的。

其次，现在我们国家正处于高速发展的阶段，刚开了两会，国家要进入新时代，从大国到强国，从人口大国转换成人才大国，这样的历史使命，如何来完成呢？就需要我们要有科技创新。这就要求我们的孩子要拥有“十字形”的知识结构。

我们知道，知识结构主要有4种：一是竖的“1”，特点就是专而不广；第二种是横的“一”，特点就是广而专；第三种就是“T”字形，我国的知识分子大部分都是这样的知识结构，特点就是知识又广又专，但缺乏创造；第四种就是“十字形”，知识又专又广，还有创造力。

“十字形”的知识结构才是我们需要的科技人才标准。这要求我们要通过三个顶梁柱来训练，分别是语言训练、哲学训练和数学训练，或是数学修养。那么从这个角度来看，数学对创造性，尤其是人工智能的社会，是不可或缺的。

此外，从PISA（Program for International Student Assessment）(国际学生评估项目的缩写）的评估标准来看，（主要对接近完成基础教育的15岁学生进行评估）其评估方式主要是从孩子的阅读、数学和科学能力三方面来考察，这可以看出，数学能力的重要性

所以无论从2011的新课程标准、PISA考试、十字形知识结构这些角度来看，数学在孩子发展过程中是很重要的学科，学习过程中数学思维的培养是不可或缺的。

既然数学思维这么重要，那么我们就要明白，孩子学习数学，如何学习才能有利于数学思维的培养？对此我提出如下四个建议：

1、重视完全知识的学习。

完全知识指的是什么？为什么完全知识有利于数学思维的培养呢？完全知识主要含有三个成分，分别是“是什么”“为什么”“怎么办”的知识。比如三角形的面积是底*高/2，那么为什么是这样呢？为什么和平行四边形的面积公式不一样？生活中遇到这样的问题，如何做到学以致用，知行合一呢？在运用的过程中如何把所学的知识转换成智慧。

2、思维导图的训练

思维导图把我们所学的知识用一定的线联系起来的工具，比如把所学的概念、法则、定理用一个图表示出来，找到概念之间的关系，这个过程不仅是对知识的深化，更是思考的过程。由于做思维导图的过程是寻求关系的过程，也是思维的发展过程，所以思维导图可以作为培养数学思维重要途径之一。

3、养成学生良好的思考习惯

在《塑造明天的教育—联合国可持续发展教育十年计划2012年报告》中强调对孩子批判性思维的培养；2016年9月13号，中国中小学生发展核心素养中，也讲到了培养学生的批判性思维。

为什么要重视批判性思维的培养呢？为什么每个国家都重视这种思维能力？因为国与国之间竞争的本质是人的竞争，人的竞争本质是素质的竞争，而批判性思维是创造力必不可缺少的。这种思维主要特征是质疑和批判，同时也是一种价值观倾向，注重“为什么”。而所有的“为什么”都是思考，数学思维的培养也是重视学生的质疑、批判的能力。

4、重视问题解决

孩子的学习是记忆、理解、分析、应用、评价、创新的过程，是问题解决的过程，同时建构孩子的数学思维的目的也是促进问题解决。可以说，解决问题是培养数学思维的目的，也是我们学习的目的。

以上四个方面是我们培养孩子数学思维的基础。

那么，作为老师或家长针对不同年龄阶段的孩子应该如何做呢?我主要是针对0—12岁的孩子来提一些参考性意见。

针对0—6岁的孩子的数学培养，这阶段的孩子的教育定位是启蒙教育，其数学思维的培养也是重在启蒙，也就是让孩子有种朦朦胧胧的感觉，核心不是概念的掌握。我也分成两个阶段来分别给大家分享。

0-3岁：对这阶段的孩子的数和形的教育，我的建议是让孩子先从自身的身体感受数，比如，宝宝有两个鼻子，两只手等，让孩子了解身体上也有数；其次就是让孩子了解生活中的数，原来这些数就在生活中，比如孩子乘电梯时，都喜欢按电梯，可以让孩子按自己家住的层数；还有就是让孩子在游戏或玩中感受数和形，比如搭积木时，让孩子感觉不同的形状，做纸牌游戏等。此外，还可以在大自然中感受数和形，比如花朵的个数，树叶的形状等。

这阶段就是让孩子心中有这样的想法，原来这些数和形就在我的身体上、球鞋上，在我家的电梯上、衣服的尺寸上，感觉到数和形就在我们的生活中。

3-6岁：这阶段的孩子该上幼儿园了，那么数学的启蒙教育就要比0-3岁时应该往前提一步。根据国家3—6岁的教育标准，是要求孩子学习10之内的数，可以让孩子进一步感觉到数和形就在生活中。

比如老师在黑板上写了1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，一般孩子都认识。重要的是老师如何提问题，如何出题。比如老师可以问，小朋友们都知道这些数字，那我们生活当中没有这些数可以吗？小朋友们就会说：老师不可以的，没有这些数，我乘电梯不知道按，回不到家了；没有这些数，妈妈不知道怎么买鞋了；如果没有这些数，我不知道是低烧还是高烧，生活当中不能没有数的。

在教数的时候，如何做到培养数学思维呢？比如针对3+4=7这个问题，很多老师会问小朋友3+4=？这个问题，回答对了就没然后了，最多的问到3个苹果加上4个苹果等于几个苹果？基本上属于封闭性问题。可是如果从培养数学思维的角度，我会这样来问孩子，□+□=7，这也是十以内的计算，并未超过国家的教育指南，我会问小朋友方块内可以填写哪些数字？孩子就会说1和6,2和5,3和4，0和7等。这在无形之间就给孩子渗透了一个重要的思维----多元思维。

由于孩子的发展水平存在个体差异性。而好的教育会让每个孩子在原有水平上得到提高。那么老师出的题应该是有层次的，针对上面的问题，老师可以继续问：小朋友能不能快点说，不漏掉？这个问题不一定每个小朋友都会，会的小朋友一说，其他小朋友听了也会有进步。当小朋友们快速的挨着说：1和6,2和5，3和4,4和3等时，这又可以培养孩子的有序思维。

老师还可以针对这个问题再提高一步：小朋友能不能用一句话把刚才的问题说一下？有的小朋友会说，方块中的数字加起来都是7。这又是在培养孩子的抽象思维。

还可以再继续追问，为什么1和6,2的时候就是5了，什么变了，什么没变？这又在培养孩子的互补性思维。

所以同样是十以内的加减法，你们比一比，哪一种出题方法更有利于孩子数学思维的培养。从简单的数的教学，我们可以从中悟出很多道理，如果老师出的是封闭性问题，仅仅是计算而已，但如果换一种出题方法，就可以培养孩子的开放性思维、多元思维、有序思维、抽象思维和互补思维。

所以我们老师或爸爸妈妈，在培养孩子的数学思维时，如何出题非常重要。我们在数学思维培养过程中，请一定不要满足于结果的对与错，而是要更重视过程，因为过程才能培养思维的关键。

总之，0-6岁的数学启蒙教育，不是概念教育，而是通过孩子在摆一摆、动一动、玩一玩中，知道数和形就在我们生活中，对数学感兴趣，启蒙教育的目的就达到了。

6—12岁：6-12岁处于基础教育阶段，此阶段的教育非常重要。基础不好，往上走就很困难。就像盖楼，根基不牢，就无法盖高楼。6-12岁，小学阶段的数学主要是学习整数、分数、简单的平面图形和方程。那么如何培养数学思维呢？

针对这个问题，我想通过我们课题组的一个研究来给大家分享，这个课题是关于萌发小学生的辩证性思维的研究。做这个课题是受到皮亚杰晚年做的12个辨证思维的实验和上世纪70年代关于儿童哲学的启发，借助我们的工作结果来给大家分享下。

数很简单，但是利用简单的数可以给孩子一些辨证思维的萌芽。如何做呢？在不增加知识内容的前提下，就是改变孩子的知识结构。我们的知识结构特别强调1，在孩子很小的时候数和量是联系到一起的，比如1个苹果，1个盘子等。强调一个1，是学习的主线，在整数范围内增加1，可以到无穷大；1可以指大，也可以指小。让孩子理解这很困难，在教材上我们用一颗糖，一盘糖，一卡车糖来帮助孩子理解。

还要重视整体和部分，比如3作为一个整体，1和2可以作为部分，整体和部分的关系、包含的关系，强调这样的知识结构。比如培养相对性思维方面，皮亚杰认为孩子的思维是从绝对到相对的过程，如何培养相对性思维呢，主要也是从改变知识结构着手。

我们研究中每一年选择4个学校，每个学校都找了2个班，一个是实验班，一个是普通班，追踪了4年，其他的影响因素我们都尽量给控制了，教学内容都一样的，但是方法就是通过改变孩子的知识结构。那么如何证明有效呢？心理学就是让看不见的东西要从看的见的行为上反应出来。

针对训练一年的孩子，我们问了孩子这样一个问题：老师吃半个西瓜，你也吃了半个西瓜，是老师吃的西瓜多还是你吃的西瓜多呢？针对这样的问题，实验班的孩子就有6个孩子表示，这个问题不好回答，有人说，老师你没有给我看吃的西瓜图，这个答案不好回答；有人说，老师，看你在谁家吃的西瓜了；有人说，老师，看谁吃的西瓜皮厚了。针对这个问题的答案，就可以看出这萌发了孩子的辨证思维，有了相对性的概念，虽然还是朦朦胧胧的。

我们还通过让孩子亲自动手和操作，让孩子意会到什么在变，什么不变；可以分，可以合；数可以转化成形，形可以用转化成数，通过改变我们的知识结构来培养孩子的数学思维。

我们课题组为什么重视萌发数学思维，强调孩子在思考中学习，在数和形中去学习，在生活中去学习，从开放性的练习中学习，在学习知识技能的同时萌发孩子的相对性思维、互补性思维、多元性思维。知识并不深，在于知识如何学，大人的智慧，在于你的题是怎么出的，在于你的知识结构是怎样的，是否有培养孩子思维的教育理念。

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